Question

利用数学归纳法证明:(3n+1)·7ⁿ-1（n∈N^*)能被9整除.

Answer 1

思路分析:第一步当n=1时,可计算(3n+1)·7ⁿ-1的值,从而验证它是9的倍数;第二步要设法变形成为“假设”+“9的倍数”的形式,进而论证能被9整除.

证明:(1)当n=1时,(3×1+1)×7¹-1=27,能被9整除,所以命题成立.

(2)假设当n=k(k∈N^*)时命题成立,即(3k+1)·7^k-1能被9整除.

那么当n=k+1时,

［3(k+1)+1］·7^k+1-1=(3k+4)·7^k+1-1=(3k+1)·7^k+1-1+3·7^k+1

=［(3k+1)·7^k-1］+3·7^k+1+6·(3k+1)·7^k

=［(3k+1)·7^k-1］+7^k(21+6×3k+6)

=［(3k+1)·7^k-1］+9·7^k(2k+3).

由归纳假设知(3k+1)·7^k-1能被9整除,而9·7^k(2k+3)也能被9整除,故［3(k+1)+1］·7^k+1-1能被9整除.

这就是说,当n=k+1时,命题也成立.

由(1)(2)知对一切n∈N^*,(3n+1)·7ⁿ-1能被9整除.

    深化升华 涉及整除的问题,常利用提取公因式凑成假设、凑出整除式等方法,其中等价变换的技巧性往往较强.