Question

已知函数f （x）=e^g（x），g （x）=

kx-1

x+1

（e是自然对数的底），
（1）若函数g （x）是（1，+∞）上的增函数，求k的取值范围；
（2）若对任意的x＞0，都有f （x）＜x+1，求满足条件的最大整数k的值；
（3）证明：ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n （n+1）]＞2n-3 （n∈N*）．

Answer 1

分析：（1）求出g′（x）的解析式，由g （x）是（1，+∞）上的增函数，可得g′（x）＞0，求得k的取值范围．
（2）由条件得到f （1）＜2，可得k＜2ln2＜3，猜测最大整数k=2，利用导数证明e

2x-1

x+1

＜x+1对任意x＞0恒成立，得到整数k的最大值为2．
（3）由（2）得到不等式 2-

3

x+1

＜ ln(x+1)，故有 ln[1+k(k+1)]＞2-

3

k(k+1)+1

＞2-

3

k(k+1)

，故要证的不等式左边＞(2-

3

1×2

)+(2-

3

2×3

)+… +[2-

3

n(n+1)

]=2n- 3 +

3

n+1

＞2n-3．

解答：解：（1）设g(x)=

kx-1

x+1

?g′(x)=

k(x+1)-kx+1

(x+1)2

=

k+1

(x+1)2

，因为g （x）是（1，+∞）上的增函数，
所以g′（x）＞0，得到k＞-1；所以k的取值范围为（-1，+∞）．
（2）由条件得到f （1）＜2?e

k-1

2

＜2?k＜2ln2+1＜3，猜测最大整数k=2，
现在证明e

2x-1

x+1

＜x+1对任意x＞0恒成立．
e

2x-1

x+1

＜x+1等价于 2-

3

x+1

＜ln(x+1)?ln(x+1)+

3

x+1

＞2，
设h(x)=ln(x+1)+

3

x+1

?h′(x)=

1

x+1

-

3

(x+1)2

=

x-2

(x+1)2

，
故x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，
所以对任意的x＞0都有h （x）≥h （2）=ln3+1＞2，即e

2x-1

x+1

＜x+1对任意x＞0恒成立，
所以整数k的最大值为2．                  
（3）由（2）得到不等式 2-

3

x+1

＜ ln(x+1)，∴ln[1+k(k+1)]＞2-

3

k(k+1)+1

＞2-

3

k(k+1)

，
ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n （n+1）]＞(2-

3

1×2

)+(2-

3

2×3

)+…+[2-

3

n(n+1)

]＞2n-3(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

)=2n-3+

3

n+1

＞2n-3，
所以原不等式成立．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，用放缩法证明不等式，其中，用放缩法证明不等式，是解题的难点．