Question

已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数集，对定义域内的任意x₁,x₂都有f(x₁·x₂)=f(x₁)+f(x₂)，且当x＞1时，f(x)＞0,f(2)=1，

(1)求证：f(x)是偶函数；

(2)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；

(3)试比较f()与f()的大小.

Answer 1

思路分析：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.解决此类问题的关键是利用好条件中的函数性质等式.(1)利用赋值法证明f(-x)=f(x)；(2)利用定义法证明单调性；(3)利用函数的单调性比较它们的大小.

(1)证明：函数的定义域是{x｜x≠0}.

令x₁=x₂=1，得f(1)=2f(1)，

∴f(1)=0.

令x₁=x₂=-1，得f(1)=f［-1×(-1)］=f(-1)+f(-1)，

∴2f(-1)=0.

∴f(-1)=0.

∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).

∴f(x)是偶函数.

(2)证明：设0＜x₁＜x₂，则

f(x₂)-f(x₁)=f(x₁·)-f(x₁)=f(x₁)+f()-f(x₁)=f().

∵x₂＞x₁＞0，∴＞1.∴f()＞0，即f(x₂)-f(x₁)＞0.

∴f(x₂)＞f(x₁)，

即f(x₁)＜f(x₂).

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

(3)解：由(1)知f(x)是偶函数，则有f()=f().

由(2)知f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f()＞f().

∴f()＞f().

绿色通道：判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较.其关键是将所给的关系等式进行有效的变形和恰当的赋值.