Question

已知函数f （x ）=x³-x，
（Ⅰ）若不等式f（x）＜k-2005对于x∈[-2，3]恒成立，求最小的正整数k；
（Ⅱ）令函数g（x）=f（x）-ax²+x（a≥2），求曲线y=g（x）在（1，g（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，
令时，解得，
当x变化时，变化如下：

由上表可知：，
又，，
比较可得：当时，，
因为恒成立，所以，即，
所以最小正整数。
（Ⅱ），
则，
所以，
又因为，
所以切线方程为，
令，，
令，，
所以，
因为，
则，
则，
所以，即S在单调递增，
所以a=2时，。