Question

已知函数f（x）=

1

2x-1

+a是奇函数．（1）求常数a的值；（2）判断f（x）的单调性并给出证明．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=

1

2x-1

+a是奇函数，可得方程f（x）+f（-x）=0代入函数解析式，由此方程求出a的值；
（2）由（1）函数f（x）=

1

2x-1

+

1

2

，由解析式形式知f（x）=

1

2x-1

+

1

2

在（-∞，0）与（0，+∞）上都是减函数，由定义证明即可

解答：解：（1）函数f（x）=

1

2x-1

+a是奇函数，可得f（x）+f（-x）=0
∴

1

2x-1

+a+

1

2-x-1

+a=0，解得a=

1

2

∴函数f（x）=

1

2x-1

+

1

2

（2）由（1）得f（x）=

1

2x-1

+

1

2

在（-∞，0）与（0，+∞）上都是减函数，证明如下
任取x₁＜x₂则
f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1-1

-

1

2x2-1

=

2x2-2x1

(2x1-1)(2x2-1)

当x₁，x₂∈（0，+∞）时，2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x2-2x2＞0，所以

2x2-2x1

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
有f（x₁）-f（x₂）＞0
当x₁，x₂∈（-∞，0）时，2x1-1＜0，2x2-1＜0，2x2-2x1＞0，所以

2x2-2x1

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
有f（x₁）-f（x₂）＞0
 综上知，
f（x）=

1

2x-1

+

1

2

在（-∞，0）与（0，+∞）上都是减函数

点评：本题考查了函数奇偶性的性质以及函数单调性的证明方法定义法，解题的关键是理解奇函数的定义及单调性的证明方法，本题的重点是单调性的证明，其中判断符号是难点