Question

数列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=2a_n+1，又设b_n=a_n+1
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设（n∈N*），求数列{c_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接对条件a_n+1=2a_n+1整理即可得到a_n+1+1=2（a_n+1）进而得到数列{b_n}是等比数列；
（2）根据第一问的结论先求出数列{b_n}通项公式；再结合b_n=a_n+1即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）先求出数列{c_n}的通项公式，再利用乘公比错位相减法求和即可．
解答：解：（1）∵a₁=1，且a_n+1=2a_n+1，b_n=a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∴=2，a₁+1=2
∴数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）∵b_n=2×2^n-1=2ⁿ
∴a_n=b_n-1=2ⁿ-1
（3）∵=．
∴S_n=+…+
∴S_n=…+
∴两式相减可得：S_n=+++…+=1+-=．
∴S_n=．
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式．解决第三问用到了乘公比错位相减求数列的和，乘公比错位相减求数列的和是数列部分的重要方法，要注意掌握，它适用于一等差数列乘以一等比数列组合而成的新数列的求和．