Question

三次函数f（x）=x³-2bx+2b在[1，2]内恒为正值的充要条件为（　　）

• A．b≤4
• B．b＜

  27

  8

• C．-1＜b＜4
• D．b＜

  9

  4

Answer 1

分析：原问题等价于函数y₁=x³，y₂=2b（x-1），当x∈[1，2]时，恒有y₂＜y₁成立，由直线和曲线的相切可得b的取值范围．

解答：解：原问题等价于函数y₁=x³，y₂=2b（x-1），
当x∈[1，2]时，恒有y₂＜y₁成立，
由于[1，2]，讨论第一象限即可，
直线y₂过（1，0）点，斜率为2b．
在[1，2]范围内，直线y₂与y₁=x³相切时的斜率即是2b的最大值．
对y₁求导得相切的斜率3x²，由2b=3x²可得b的最大值为

3

2

x2．
联立方程组

y=x3 y=2b(x-1)=3x2(x-1)

，解之可得x=

3

2

，y=

27

8

，
即切点为（

3

2

，

27

8

），可知只需b＜

3

2

x2=

27

8

即可
故可得其充要条件为：b＜

27

8

故选B

点评：本题考查充要条件的求解，把问题转化为求函数的导数和图象的公共点问题是解决问题的关键，属中档题．