Question

设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是

1. A.
   -1＜k≤
2. B.
   ≤k＜1
3. C.
   k＞-1
4. D.
   k＜1

Answer 1

A
分析：首先应根据条件将问题转化成：在上有两个不等实根．然后，一方面：可以从数形结合的角度研究两函数和y=x-k在上的交点个数问题，进而获得问题的解答；另一方面：可以化简方程，得关于x的一元二次方程，从二次方程根的分布情况分析亦可获得问题的解答．
解答：
方法一：因为：为上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，
∴，即f（x）=x在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．
∴问题可化为和y=x-k在上有
两个不同交点．

对于临界直线m，应有-k≥，即k≤．
对于临界直线n，，
令=1，得切点P横坐标为0，
∴P（0，1），
∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴-k＜1，即k＞-1．
综上，-1＜k≤．
方法二：因为：为上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，
∴，即f（x）=x在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．
化简方程，得x²-（2k+2）x+k²-1=0．
令g（x）=x²-（2k+2）x+k²-1，则由根的分布可得，即，
解得k＞-1．又，∴x≥k，∴k≤．
综上，-1＜k≤，
故选A．
点评：本题考查的是函数的最值及其几何意义．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想以及函数与方程的思想．同时二次函数根的分布情况对本体的解答也有相当大的作用．值得同学们体会和反思．