Question

已知偶函数f（x）在R上可导，且f′（1）=-2，f（x+2）=f（x-2），则曲线y=f（x）在x=-5处的切线的斜率为（　　）

A．2

B．-2

C．1

D．-1

Answer 1

分析：由f（x）可导，对f（x+2）=f（x-2）两边求导，结合f（x）为偶函数，得到一个式子，对此式两边求导，从而可得f′（x+4）=f′（x），由此可求即f′（-5）的值即为所求切线的斜率．

解答：解：由f（x）在R上可导，对f（x+2）=f（x-2）两边求导得：
f′（x+2）（x+2）′=f′（x-2）（x-2）′，即f′（x+2）=f′（x-2）①，
由f（x）为偶函数，得到f（-x）=f（x），
故f′（-x）（-x）′=f′（x），即f′（-x）=-f′（x）②，
则f′（x+2+2）=f′（x+2-2），即f′（x+4）=f′（x），
所以f′（-5）=f′（-1）=-f′（1）=2，即所求切线的斜率为2．
故选A

点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是得出f′（x+4）=f′（x），是一道中档题．