Question

已知数列{a_n}满足：S_n＝1－a_n(n∈N^*)，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)若数列{b_n}满足：b_n＝(n∈N^*)，求{b_n}的前n项和公式T_n．

Answer 1

解：(1)∵S_n＝1－a_n ①　 ∴S_n＋1＝1－a_n＋1，②

②－①得，a_n＋1＝－a_n＋1＋a_n，∴a_n＋1＝a_n(n∈N^*)．　　　　　　 4分

又n＝1时，a₁＝1－a₁，∴a₁＝

∴a_n＝·()^n-1＝()ⁿ，(n∈N^*)．　　　　　　　　　　　　 6分

(2) ∵b_n＝＝n·2ⁿ(n∈N^*)，　　　　　　 7分

∴T_n＝1×2＋2×2²＋3×2³＋…＋n×2ⁿ，③

∴2T_n＝1×2²＋2×2³＋3×2⁴＋…＋n×2ⁿ⁺¹，④

③－④得，－T_n＝2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ－n×2ⁿ⁺¹ ＝－n×2ⁿ⁺¹，　　　 10分

整理得，T_n＝(n－1)2^n＋1＋2，n∈N^*．　　　　　　　　　 12分