Question

已知函数f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f²（x）-2af（x）+3．
（1）若f（2x₀-1）=

3

，求x0；
（2）求g（x）的最小值h（a）．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）的解析式，将2x₀-1代入解析式，列出关于x₀的方程，求解即可得到x₀的值；
（2）根据g（x）=f²（x）-2af（x）+3且f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，得到函数g（x）的解析式以及定义域，利用换元法将函数转化为二次函数求最值，利用二次函数的性质，分类讨论即可求得g（x）的最小值h（a）．

解答：解：（1）∵f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，
∴f（2x₀-1）=(

1

3

)2x0-1，
∵f（2x₀-1）=

3

，
∴(

1

3

)2x0-1=

3

=(

1

3

)-

1

2

，
∴2x₀-1=-

1

2

，
∴x₀=

1

4

，
∵f（x）定义域为[-1，1]，
∴（2x_o-1）∈[-1，1]，
∴x₀∈[0，1]，
∴x₀=

1

4

符合题意；
（2）∵g（x）=f²（x）-2af（x）+3，且f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，
∴g（x）=[(

1

3

)x-a]2+3-a2，
∵f（x）定义域为[-1，1]，
∴g（x）定义域也为[-1，1]，
令t=(

1

3

)x，由-1≤x≤1，
∴

1

3

≤t≤3，
∴g（x）=?（t）═（t-a）²+3-a²，
对称轴为t=a，
①当a≥3时，函数?（t）=在[

1

3

，3]上是单调递减函数，
∴当t=3时，函数?（t）取得最小值为?（3）=12-6a，
∴h（a）=12-6a；
②当a≤

1

3

时，函数?（t）=在[

1

3

，3]上是单调递增函数，
∴当t=

1

3

时，函数?（t）取得最小值为?（

1

3

）=

28

9

-

2

3

a，
∴h（a）=

28

9

-

2

3

a；
③当

1

3

＜a＜3时，函数?（t）在对称轴t=a处取得最小值为?（a）=3-a²，
∴h（a）=3-a²．
综合①②③，可得h（a）=

12-6a，a≥3 28 9 - 2 3 a，a≤ 1 3 3-a2， 1 3 ＜a＜3

．
∴g（x）的最小值h（a）=

12-6a，a≥3 28 9 - 2 3 a，a≤ 1 3 3-a2， 1 3 ＜a＜3

．

点评：本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了函数的最值的应用．函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．本题求函数的最值的时候运用了换元法求解，将函数转化为二次函数求最值，二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．属于中档题．