题目内容
【题目】已知函数
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若对任意
，都有
成立，求实数
的取值范围；
（3）若过点
可作函数
图像的三条不同切线，求实数的取值范围．
【答案】(1) 单调递增区间为
，单调递减区间为
和
；(2)
；(3)
【解析】
试题解析：（1）当a=3时，
，得
因为
，
所以当1<x<2时，
，函数
单调递增；
当x<1或x>2时，
，函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为（1,2），单调递减区间为（-∞,1）和（2,+∞）．
（2）由
，得
，
因为对于任意
都有
成立，
即对于任意都有
成立，
即对于任意都有
成立，
令
，
要使对任意都有
成立，
必须满足△<0或
即
或
所以实数
的取值范围为（-1,8）
（3）设点P
是函数
图象上的切点
则过P的切线的斜率为
，
切线方程为：
∵
在切线上
∴
∵若过点可作函数
图象的三条不同切线
∴有三个不等的实根，
令
，解得
∵
∴
∴实数的取值范围
【题目】为方便市民出行，倡导低碳出行.某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，在推广期内采用随机优惠鼓励市民扫码支付乘车.该公司某线路公交车队统计了活动推广期第一周内使用扫码支付的情况，其中
（单位：天）表示活动推出的天次，
（单位：十人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表1和散点图.
表1：
x | 第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | 第5天 | 第6天 | 第7天 |
y | 7 | 12 | 20 | 33 | 54 | 90 | 148 |
（1）由散点图分析后，可用
作为该线路公交车在活动推广期使用扫码支付的人次关于活动推出天次的回归方程，根据表2的数据，求此回归方程，并预报第8天使用扫码支付的人次（精确到整数）.
表2：
|
|
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|
|
4 | 52 | 3.5 | 140 | 2069 | 112 |
表中
，
.
（2）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表3.
表3：
支付方式 | 现金 | 乘车卡 | 扫码 |
频率 | 10% | 60% | 30% |
优惠方式 | 无优惠 | 按7折支付 | 随机优惠(见下面统计结果) |
统计结果显示，扫码支付中享受5折支付的频率为
，享受7折支付的频率为
，享受9折支付的频率为
.已知该线路公交车票价为1元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量
为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元），求的分布列和期望.
参考公式：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
参考数据：
，
，
.
