Question

设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=x
（1）若x＞0，求证：

f(x)

2

＞g (

x

x+2

)
（2）是否存在实数m，使函数h（x）=

g(x2)

2

-f（x²）-m恰有四个不同的零点？若存在求出的m范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）构造函数F（x），求出F（x）的导函数，判断出导函数在[0，+∞）大于0恒成立，求出F（x）的最小值，证出不等式．
（2）求出h（x）的导函数，令导函数为0，求出三个极值点，为函数有四个不同的零点，令h（1）＜0，h（0）＞0，h（-1）＜0求出m的范围．

解答：解：（1）证明：令F(x)=

f(x)

2

-g(

x

x+1

)
∴F′(x)=

x2

2(x+1)(x+2)2

易知F（X）在[0，+∞）为增函数，
所以F（X）＞F（0）=0
即

f(x)

2

＞g(

x

x+2

)
（2）由h′（x）=0得x=-1，0，1，
再由h（1）＜0，h（0）＞0，h（-1）＜0
易得

1

2

-ln2＜m＜0时，函数h(x)=

g(x2)

2

-f(x2)-m恰有四个不同的零点

点评：通过导函数判断函数的单调性：导函数大于0函数递增；导函数小于0，函数递减；证明不等式一般通过构造函数，利用导数求函数的最值来证．