Question

若函数f（x）=-

1

3

x3+x在（a，10-a²）上有最大值，则实数a的取值范围为

（-3，1）

．

Answer 1

分析：根据题意求出函数的导数，因为函数f（x）=-

1

3

x3+x在（a，10-a²）上有最大值所以f′（x）先大于0然后再小于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜10-a²，进而求出正确的答案．

解答：解：f′（x）=-x²+1．因为函数f（x）=-

1

3

x3+x在（a，10-a²）上有最大值，
所以函数f（x）在（a，10-a²）内先增再减，f′（x）先大于0然后再小于0，
所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜10-a²，
解得-3＜a＜1
故答案为：（-3，1）．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用，即求函数的单调区间与函数的最值，并且进行正确的运算