Question

平面直角坐标系中，点集M={(x，y)|

x=sinα+cosβ y=cosα-sinβ

α，β∈R}，则点集M所覆盖的平面图形的面积为（　　）

• A、4π
• B、3π
• C、2π
• D、与α，β有关

Answer 1

分析：欲求点集M所覆盖的平面图形的面积，先看点M的轨迹是什么图形才行，将x，y的式子平方相加后即可得出x²+y²=2+2sin（α-β）．再结合三角函数的有界性即可解决问题．

解答：解：∵

x=sinα+cosβ y=cosα-sinβ

两式平方相加得：
x²+y²=1+1+2sinαcosβ-2cosαsinβ
即：x²+y²=2+2sin（α-β）．
由于-1≤sin（α-β）≤1，
∴0≤2+2sin（α-β）≤4，
∴随着α-β 的变化，方程x²+y²=2+2sin（α-β）圆心在（0，0），半径最大为2的圆，
点集M所覆盖的平面图形的面积为：2×2×π=4π．
故选A．

点评：本题是考查参数方程化成普通方程，本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．