题目内容

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足
（ⅰ）对任意x、y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（ $数学公式$ ）
（ⅱ）当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，试研究f（ $数学公式$ ）+f（ $数学公式$ ）+…+f（ $数学公式$ ）与f（ $数学公式$ ）的关系．

解：在（ⅰ）中，令x=y=0，可得到f（0）+f（0）=f（0），可得f（0）=0，
令x=-y，可得f（x）+f（-x）=f（0），
则f（x）+f（-x）=0，
故f（x）是奇函数；
又由（ii），当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，
当x∈（0，1）时，则-x∈（-1，0）
f（x）=-f（-x）＜0，
即当x∈（0，1）时，f（x）＜0，
f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）+f（- $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）
则f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+…+f（ $\text{[math]}$ ）=[f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）]+[f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）]+…+[f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）]
=f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）；
∵0＜ $\text{[math]}$ ＜1，
∴f（ $\text{[math]}$ ）＜0；
则f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）＞f（ $\text{[math]}$ ），
故f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+…+f（ $\text{[math]}$ ）＞f（ $\text{[math]}$ ）．
分析：在（ⅰ）中，用特殊值法，令x=y=0，x=-y，可得f（x）为奇函数，结合（ii），分析可得当x∈（0，1）时，f（x）＜0；进而将f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）+…+f（ $\text{[math]}$ ）变形为[f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）]+[f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）]+…+[f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ）]，化简可得其等于f（ $\text{[math]}$ ）-f（ $\text{[math]}$ ），由 $\text{[math]}$ 的范围，可得f（ $\text{[math]}$ ）＜0；即可得答案．
点评：本题考查抽象函数的应用，关键是根据题意，由奇偶性的定义，判断出f（x）的奇偶性，．