Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a•{2^x}（x≤0）\\{log_2}x（x＞0）\end{array}$，若关于x的方程f[f（x）]=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，0）∪（0，1）
• C． （0，1）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 利用换元法设f（x）=t，则方程等价为f（t）=0，根据指数函数和对数函数图象和性质求出t=1，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：令f（x）=t，则方程f[f（x）]=0等价为f（t）=0，
由选项知a≠0，
当a＞0时，当x≤0，f（x）=a•2^x＞0，
当x＞0时，由f（x）=log₂x=0得x=1，
即t=1，作出f（x）的图象如图：
若a＜0，则t=1与y=f（x）只有一个交点，恒满足条件，
若a＞0，要使t=1与y=f（x）只有一个交点，
则只需要当x≤0，t=1与f（x）=a•2^x，没有交点，
即此时f（x）=a•2^x＜1，
即f（0）＜1，
即a•2⁰＜1，
解得0＜a＜1，
综上0＜a＜1或a＜0，
即实数a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1），
故选：B．

点评 本题主要考查函数方程根的个数的应用，利用换元法求出t=1是解决本题的关键．注意利用指数函数和对数函数的图象，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强．