Question

如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=1，AB=2，当三棱锥P-ABC的体积最大时，在线段AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．（参考公式：棱锥的体积公式V=

1

3

Sh，其中S表示底面积，h表示棱锥的高）

Answer 1

分析：（I）由∠PAB=∠PAC=90°，可得PA⊥AB，PA⊥AC．进而由线面垂直的判定定理得到PA⊥平面ABC，进而BC⊥PA，再由∠ACB=90°及线面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理可得平面PBC⊥平面PAC；
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）所证可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，即PA是三棱锥P-ABC的高．求出满足条件三棱锥P-ABC的体积最大时∠ABC的大小，以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C-xyz，设线段AC上的点D的坐标为D（t，0，0），进而求出满足条件的t值，进而可得结论．

解答：证明：（Ⅰ）∵∠PAB=∠PAC=90°，
∴PA⊥AB，PA⊥AC．
∵AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC
∴PA⊥平面ABC------------------------（1分）
∵BC?平面ABC，
∴BC⊥PA．------------------------（2分）
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥CA．
∵PA∩CA=A，PA，CA?平面PAC
∴BC⊥平面PAC．------------（3分）
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．------------（4分）
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）所证可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，
∴PA是三棱锥P-ABC的高．
∵PA=1，AB=2，∠ACB=90°，
设∠ABC=θ(0＜θ＜

π

2

)，
则BC=ABcosθ=2cosθ，AC=ABsinθ=2sinθ．
S△ABC=

1

2

×2cosθ×2sinθ=sin2θ，
∴VP-ABC=

1

3

S△ABC×PA=

1

3

sin2θ------（6分）
∴当θ=

π

4

，V_P-ABC有最大值

1

3

，
此时BC=2cos

π

4

=

2

．------------（7分）
以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C-xyz，
则

CB

=(0，

2

，0)，

CP

=(

2

，0，1)，
设

n

=(x，y，z)是平面PBC的法向量，

则

CB • n =0 CP • n =0

⇒

2 •y=0 2 x+z=0

，
取x=1，得

n

=(1，0，-

2

)，------------（9分）
设线段AC上的点D的坐标为D（t，0，0），
则

BD

=(t，-

2

，0)(0≤t≤

2

)，
∵sin30°=

| n • BD|

| n |•| BD|

=

t

3 • t2+2

，
解得t=

6

∉[0，

2

]，------------（11分）
∴在线段AC上不存在点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．------------（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，棱锥的体积，平面与平面垂直的判定，难度中档．