Question

已知函数，其中，a为常数

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数n，当时，有

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知得函数的定义域为，

当n=2时，

所以 .

（1）当a＞0时，由=0得＞1，＜1，

（2）此时 =.

当x∈（1，x₁）时，＜0, 单调递减；

当x∈（x₁+∞）时，＞0, 单调递增.

当a≤0时，＜0恒成立，所以无极值.

综上所述，n=2时，

当a＞0时,在处取得极小值，极小值为

当a≤0时，无极值.

（Ⅱ）证法一：因为a=1,所以

当n为偶数时，

令

则=1+＞0（x≥2）.

所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，

又g(2)=0

因此≥g(2)=0恒成立，

所以f(x)≤x-1成立.

当n为奇数时，

要证≤x-1,由于＜0，所以只需证,

令　 ,

则=1-≥0（x≥2）,

所以当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0，

所以当x≥2时，恒有＞0,即命题成立.

综上所述，结论成立.

证法二：当a=1时，

当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有≤1，

故只需证明.

令

则

当x≥2时，≥0，故h(x)在上单调递增，

因此 当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立.

故 当x≥2时，有≤x-1.

即f（x）≤x-1.