题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
25y2
9a2
=1上的两点A、B与右焦点F2满足|AF2|+|BF2|=
8
5
a，又线段AB中点到左准线的距离为
3
2
，求此椭圆方程．
分析：可使用焦半径公式，设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF2|=a-ex1，|BF2|=a-ex2，从而可得
x1+ x2
2
，即AB中点横坐标，再由线段AB中点到左准线的距离为
3
2
，列方程即可得a的值，最后确定椭圆方程
解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵e=
4
5
，
由焦半径公式有a-ex1+a-ex2=
8
5
a，∴x1+x2=
1
2
a，即AB中点横坐标为
1
4
a
又左准线方程为x=-
5
4
a，∴
1
4
a+
5
4
a=
3
2
，即a=1，
∴椭圆方程为x2+
25
9
y2=1
点评：本题考查了椭圆的两个定义及椭圆的标准方程和几何性质，重点掌握两个定义及其应用．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，长轴长为4，M为右顶点，过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，直线AM、BM与x=4分别交于P、Q两点，（P、Q两点不重合）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线AB与x轴垂直时，求证：
FP
•
FQ
=0
（3）当直线AB的斜率为2时，（2）的结论是否还成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．
（2012•武昌区模拟）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率为
1
2
，两焦点之间的距离为4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A、B两点，
（1）求证：OA⊥OB；
（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值．
如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞))，左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，P为椭圆上在第一象限内一点．
（1）若S△PF1F2=S△PAF2，求椭圆的离心率；
（2）若S△PF1F2=S△PAF2=S△PBF1，求直线PF1的斜率k；
（3）若S△PAF2，S△PF1F2，S△PBF1成等差数列，椭圆的离心率e∈[
1
4
，1)，求直线PF1的斜率k的取值范围．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞0 ， b＞0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P（异于长轴的端点），使得csin∠PF1F2=asin∠PF2F1，则该椭圆离心率的取值范围是
2
-1≤e＜1
2
-1≤e＜1
．
（2009•武昌区模拟）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A、B分别是椭圆的左、右顶点，点M满足MB⊥AB，连接AM，交椭圆于P点，试问：在x轴上是否存在异于点A的定点C，使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点，若存在，求出C点的坐标；若不存在，说明理由．

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