题目内容

已知
a
=（cosx+sinx，sinx），
b
=（cosx-sinx，2cosx）．
（1）求证：向量
a
与向量
b
不可能平行；
（2）若f（x）=
a
•
b
，且x∈[-
π
4
，
π
4
]时，求函数f（x）的最大值及最小值．
（1）假设
a
∥
b
，则2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，
∴2cos2x+sinxcosx+sin2x=0，2•
1+cos2x
2
+
1
2
sin2x+
1-cos2x
2
=0，
即sin2x+cos2x=-3，
∴
2
（sin2x+
π
4
）=-3，与|
2
（sin2x+
π
4
）|≤
2
矛盾，
故向量
a
与向量
b
不可能平行．
（2）∵f（x）=
a
•
b
=（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx
=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=
2
（
2
2
cos2x+
2
2
sin2x）=
2
（sin2x+
π
4
），
∵-
π
4
≤x≤
π
4
，
∴-
π
4
≤2x+
π
4
≤
π
4
，
∴当2x+
π
4
=
π
4
，即x=
π
8
时，f（x）有最大值
2
；
当2x+
π
4
=-
π
4
，即x=-
π
4
时，f（x）有最小值-1．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=（cosx+sinx，sinx），
b
=（cosx-sinx，2cosx）．
（1）求证：向量
a
与向量
b
不可能平行；
（2）若f（x）=
a
•
b
，且x∈[-
π
4
，
π
4
]时，求函数f（x）的最大值及最小值．
已知
a
=（cosx+sinx，sinx），
b
=（cosx+sinx，-2sinx），且f（x）=
a
.
b

（1）求f（x）的解析式，并用f（x）=Asin（wx+φ）的形式表示；
（2）求方程f（x）=1的解．
已知
a
=（cosx，sinx），
b
=（sinx，cosx），与f（x）=
a
•
b
要得到函数y=cos2x-sin2x的图象，只需将函数y=f（x）的图象（　　）
已知
a
=(1-cosx，2sin
x
2
)，
b
=(1+cosx，2cos
x
2
)，设f(x)=2+sinx-
1
4
|
a
-
b
|2．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数g（x）和函数f（x）的图象关于原点对称，
（ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（ⅱ）若函数h（x）=g（x）-λf（x）+1在区间[-
π
2
，
π
2
]上是增函数，求实数λ的取值范围．
已知
a
=（cosx+sinx，sinx），
b
=（cosx-sinx，2cosx），设f（x）=
a
•
b

（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）由y=sinx的图象经过怎样变换得到y=f（x）的图象，试写出变换过程；
（3）当x∈[0，
π
2
]时，求函数f（x）的最大值及最小值．

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