Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.

(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；

(Ⅲ)设点M在棱PC上，且问为何值时，PC⊥平面BMD.

Answer 1

解法一：

，

又

由平面几何知识得：

（Ⅰ）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，

∵四边形是等腰梯形，

∵

又

四边形是平行四边形。

 ，

 是的中点，且

 

又，

为直角三角形，

在中，由余弦定理得

故异面直线PD与所成的角的余弦值为

（Ⅱ）连结，由（Ⅰ）及三垂线定理知，为二面角的平面角

   ，

   

  ∴二面角的大小为

（Ⅲ）连结，

，，

又在中，

，，，

，

故时，

解法二：

 

 

 又，，

由平面几何知识得：

以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为

，，，，，

（Ⅰ），

       ，

       。

   。

故直线与所成的角的余弦值为

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

由于，，

由   得  

取，又已知平面ABCD的一个法向量，

又二面角为锐角，

所求二面角的大小为

（Ⅲ）设，由于三点共线，，

，

∴（-1，0，-）=0

∴

由（1）（2）知：

 ，。

故时，。