Question

设a＞0，函数，若对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，则a的取值范围为________．

Answer 1

[e-2，+∞）
分析：求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最大值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．
解答：求导函数，可得g′（x）=1-，x∈[1，e]，g′（x）≥0，
∴g（x）_max=g（e）=e-1
，令f'（x）=0，
∵a＞0，x=±
当0＜a＜1，f（x）在[1，e]上单调增，
∴f（x）_min=f（1）=1+a≥e-1，∴a≥e-2；
当1≤a≤e²，f（x）在[1，]上单调减，f（x）在[，e]上单调增，
∴f（x）_min=f（）=≥e-1 恒成立；
当a＞e²时 f（x）在[1，e]上单调减，
∴f（x）_min=f（e）=e+≥e-1 恒成立
综上a≥e-2
故答案为：[e-2，+∞）
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是将对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，转化为对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x）_min≥g（x）_max．