Question

（2013•闵行区一模）已知函数f(x)=

cos πx 2 ，-1≤x≤1 x2-1，|x|＞1

，则关于x的方程f²（x）-3f（x）+2=0的实根的个数是

5

．

Answer 1

分析：方程f²（x）-3f（x）+2=0等价于f（x）=2或f（x）=1，再利用函数f(x)=

cos πx 2 ，-1≤x≤1 x2-1，|x|＞1

分类讨论，即可得到方程f²（x）-3f（x）+2=0的实根个数．

解答：解：方程f²（x）-3f（x）+2=0等价于f（x）=2或f（x）=1
∵函数f(x)=

cos πx 2 ，-1≤x≤1 x2-1，|x|＞1

，∴-1≤x≤1，f（x）∈[-1，1]，|x|＞1时，f（1）＞0，
∴f（x）=1时，cos

π

2

x=1或x²-1=1，∴x=0或x=±

2

，
f（x）=2时，x²-1=2，∴x=±

3

，
综上知方程f²（x）-3f（x）+2=0的实根的个数是5．
故答案为：5．

点评：本题考查根的个数的判断，考查分段函数，考查分类讨论的数学思想，正确等价转化是关键．