Question

△ABC中，角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且a（cosB+cosC）=b+c．
（1）求证：A=

π

2

；
（2）若△ABC外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据余弦定理求得cosB，和cosC代入题设等式中，整理得（b+c）（a²-b²-c²）=0进而求得a²=b²+c²．判断出A=

π

2

．
（2）根据直角三角形外接圆的性质可求得a，进而求得b+c的表达式，进而根据B的范围确定b+c的范围，进而求得三角形周长的范围．

解答：解：（1）证明：∵a（cosB+cosC）=b+c
∴由余弦定理得a•

a2+c2-b2

2ac

+a•

a2+b2-c2

2ab

=b+c．
∴整理得（b+c）（a²-b²-c²）=0．
∵b+c＞0，∴a²=b²+c²．故A=

π

2

．
（2）∵△ABC外接圆半径为1，A=

π

2

，∴a=2．
∴b+c=2（sinB+cosB）=2

2

sin（B+

π

4

）．
∵0＜B＜

π

2

，∴

π

4

＜B+

π

4

＜

3π

4

，∴2＜b+c≤2

2

．
∴4＜a+b+c≤2+2

2

，
故△ABC周长的取值范围是（4，2+2

2

]．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用．解题的关键是利用余弦定理把关于角的问题转化为关于边的问题．