Question

设函数f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点。
（1）求a和b的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）设 g（x）=x³-x²，试比较f（x）与g（x）的大小。

Answer 1

解：（1）因为
，
又和为的极值点，
所以，
因此
解方程组得，。
（2）因为，，
所以，
令，
解得，，
因为当时，；
当时，
所以在和上是单调递增的；
在和上是单调递减的。
（3）由（1）可知，
故，
令，
则
令，得，
因为时，，
所以在上单调递减
故时，；
因为时，，
所以在上单调递增
故时，
所以对任意，恒有，
又，
因此，
故对任意，恒有。