题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1、a2+5、a3成等差数列．则an= ．
分析：由于2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1、a2+5、a3成等差数列，可得
，解得a1．由2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，当n≥2时，可得2Sn-1=an-2n+1，可得an+1=3an+2n，变形为an+1+2n+1=3(an+2n)，l利用等比数列的通项公式即可得出．
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解答：解：由
，解得a1=1．
由2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，当n≥2时，可得2Sn-1=an-2n+1，
两式相减，可得2an=an+1-an-2n，即an+1=3an+2n，
变形为an+1+2n+1=3(an+2n)，
∴数列{an+2n}（n≥2）是一个以a2+4为首项，3为公比的等比数列．
由2a1=a2-3可得，a2=5，
∴an+2n=9×3n-2，即an=3n-2n（n≥2），当n=1时，a1=1，也满足该式子，
∴数列{an}的通项公式是an=3n-2n．
故答案为：an=3n-2n．
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由2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，当n≥2时，可得2Sn-1=an-2n+1，
两式相减，可得2an=an+1-an-2n，即an+1=3an+2n，
变形为an+1+2n+1=3(an+2n)，
∴数列{an+2n}（n≥2）是一个以a2+4为首项，3为公比的等比数列．
由2a1=a2-3可得，a2=5，
∴an+2n=9×3n-2，即an=3n-2n（n≥2），当n=1时，a1=1，也满足该式子，
∴数列{an}的通项公式是an=3n-2n．
故答案为：an=3n-2n．
点评：本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn-Sn-1”求通项公式an、变形转化为等比数列求通项公式的方法，考查了灵活的变形能力和推理能力，属于难题．
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