Question

已知E、F分别为棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁、B₁C₁的中点，则A₁到EF的距离为

3 2

4

a

．

Answer 1

分析：如图所示，建立空间直角坐标系．则A₁（0，a，0），E(0，0，

a

2

)，F(

a

2

，0，0)，得到线段EF的中点M(

a

4

，0，

a

4

)．可证明

A1M

•

EF

=0，即|

A1M

|即为A₁到EF的距离．利用向量模的计算公式即可得出．

解答：解：如图所示，建立空间直角坐标系．
则A₁（0，a，0），E(0，0，

a

2

)，F(

a

2

，0，0)，
线段EF的中点M(

a

4

，0，

a

4

)．
∴

A1M

=(

a

4

，-a，

a

4

)，

EF

=(

a

2

，0，-

a

2

)．
∵

A1M

•

EF

=

a2

8

-

a2

8

=0．
∴

A1M

⊥

EF

，
∴|

A1M

|即为A₁到EF的距离．
∵|

A1M

|=

( a 4 )2+(-a)2+( a 4 )2

=

3 2

4

a．
∴点A₁到EF的距离为

3 2 a

4

．
故答案为

3 2 a

4

．

点评：本题考查了通过建立空间直角坐标系利用向量垂直得到点到直线的距离、向量模的计算公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．