Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的两个焦点的坐标分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点P在椭圆上，

PF2

•

F1F2

=0且△PF₁F₂的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和△PF₁F₂的外接圆D的方程；
（Ⅱ）A为椭圆C的左顶点，过点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点，且M、N均不在x轴上，设直线AM、AN的斜率分别为k₁、k₂，求k₁•k₂的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据焦点的坐标可求得c，进而根据三角形的周长求得a，则b可求得，进而求得椭圆C的方程，利用

PF2

•

F2F1

=0推断出两直线垂直，求得P的坐标，则Rt△PF₂F₁的外接圆D的方程可求得．
（Ⅱ）先看当直线的斜率不存在时，求得M，N则两直线的斜率可得，求得K₁K₂的值；再看斜率存在时，设出直线的方程与椭圆方程联立消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，代入到K₁K₂中，最后综合答案可得．

解答：解：（Ⅰ）由已知得，c=1，2a+2=6，所以a=2，c=1
又a²=b²+c²，所以b=

3

，椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
因为

PF2

•

F2F1

=0，所以

PF2

⊥

F2F1

，可求得P(1，

3

2

 )或P(1，-

3

2

)，
所以Rt△PF₂F₁的外接圆D的方程是X2+(y-

3

4

)2=

25

16

或X2+(y+

3

4

)2=

25

16

．

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）得M(1，

3

2

)，N(1，-

3

2

)，
可得K1= 

1

2

，K2=-

1

2

，所以K1K2=-

1

4

．
当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，显然k≠0，
则直线l的方程为y=k（x-1），
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）将y=k（x-1）代入方程

x2

4

+ 

y2

3

= 1，
并化简得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
可得：x₁+x2 =

8k2

3+4k2

，x1•x2 =

4k2- 12

3+4k2

，
所以k1 k2=

y1

x1 + 2

•

y2

x2+2

=

k(x1-1)•k(x2-1)

(x1+2)(x2+2)

=

k2[x1x2-(x1+x2 )+1]

x1x2+2(x1+x2)+4

=
k2•

4k2-12 3+4k2 - 8k2 3+4k2 +1

4k2-12 3+4k2 + 16k2 3+4k2

 =

1

4

综上，k1k1=-

1

4

．

点评：本题主要考查圆、直线与椭圆的位置关系等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力．