Question

（本小题满分12分）已知函数．

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）若方程有唯一解，试求实数的值．

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

试题分析：（1）求,由导数的几何意义可知切线的斜率,再求可得切点．根据点斜式可得切线方程．（2）．即．令,求导．讨论导数的符号．导数正得增区间导数负得减区间．根据单调性可求函数在上的最值．根据数形结合分析可得的值．

试题解析：解 （1）因为，所以切线的斜率．

又f（1）＝1，故所求的切线方程为．即．

（2）原方程等价于，

令，则原方程即为．

因为当时原方程有唯一解，所以函数与的图象在轴右侧有唯一的交点．

又，且，

所以当时，；当时，．

即在上单调递增，在（0,4）上单调递减，故在x＝4处取得最小值，

又且无限趋近0时，无限趋近正无穷大，无限趋近正无穷大时，也无限趋近正无穷大

从而当时原方程有唯一解的充要条件是．

考点：1导数的几何意义;2用导数研究函数的性质．