Question

如图所示,已知正方体A₁B₁C₁D₁—ABCD的棱长为a.

(1)求证:平面A₁BD∥平面CB₁D₁;

(2)求平面A₁BD与平面CB₁D₁的距离.

Answer 1

分析：利用面面平行的判定定理或推论,即可证明面面平行,寻找公垂线.

(1)证明:因为BBDD₁,

所以四边形BDD₁B₁为平行四边形.

所以BD∥B₁D₁,BD平面CB₁D₁,B₁D₁平面CB₁D₁,所以BD∥平面CB₁D₁.

同理,A₁D∥平面CB₁D₁.

又因为BD∩A₁D=D,BD,A₁D平面A₁BD,

所以平面A₁BD∥平面CB₁D₁.

(2)解：连结AC₁,因为BD⊥AC,而AC是AC₁在面AC上的投影.

由三垂线定理,知BD⊥AC₁,同理A₁B⊥AC₁,

又BD∩A₁B=B,所以AC₁⊥平面A₁BD.

同理AC₁⊥平面CB₁D₁,设上,下底面对角线交点分别为O₁,O.

连结A₁O与AC₁交于M,连结O₁C与AC₁交于N,则MN的长是平面A₁BD和平面CB₁D₁的距离.

因为平面A₁BD∥平面CB₁D₁,面AC₁∩面A₁BD=A₁O,面AC₁∩面CB₁D₁=O₁C,

所以A₁O∥O₁C.

因为AO=OC,所以AM=MN.

同理MN=NC₁

所以MN=AC₁=

=,

即平面A₁BD与平面CB₁D₁的距离为a.

点拨：（1）求两个平行平面间的距离的一般步骤：一作图;二证明;三计算.

（2）求两个平行平面间的距离也可以转化为求点到面的距离.