Question

已知函数f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)

(ω＞0)的最小正周期为π．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间并写出f（x）图象的对称中心的坐标；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（I）利用倍角公式、两角差的正弦公式及其周期公式、单调性、对称中心等即可得出；
（II）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

．
因为函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，所以

2π

2ω

=π，解得ω=1．
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

．
所以f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

3π

4

]（k∈z）．
f（x）图象的对称中心的坐标为(

kπ

2

+

π

12

，

1

2

)（k∈z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

．因为0≤x≤

2π

3

，
所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，所以-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，
因此0≤sin(2x-

π

6

)+

1

2

≤

3

2

，
即f（x）的最大值为

3

2

，最小值为0．

点评：熟练掌握三角函数的图象与性质、倍角公式等是解题的关键．