Question

设向量

a

=(

3

sinx，sinx)，

b

=(cosx，sinx)．x∈[0，

π

2

]
（Ⅰ）若|

a

|=|

b

|，求x的值；
（Ⅱ）设函数f(x)=

a

•

b

，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）根据向量模的公式算出|

a

|2、|

b

|2，由|

a

|=|

b

|建立关于x的等式，结合x∈[0，

π

2

]即可解出实数x的值；
（II）根据向量数量积公式和三角恒等变换公式，化简得f(x)=

a

•

b

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，再由x∈[0，

π

2

]利用正弦函数的图象与性质加以计算，即可得出函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由题意，可得|

a

|2=(

3

sinx)2+(sinx)2=4sin2x，|

b

|2=(cosx)2+(sinx)2=1．
∵|

a

|=|

b

|，∴4sin²x=1，
又∵x∈[0，

π

2

]，可得sinx=

1

2

（舍负），∴x=

π

6

．
（Ⅱ）f(x)=

a

•

b

=

3

sinx•cosx+sin2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，得2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，函数f（x）有最大值f(x)max=

3

2

，
当2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0时，函数f（x）有最小值f（x）_min=0．
综上所述，函数f（x）的值域为[0，

3

2

]．

点评：本题给出向量

a

、

b

含有三角函数式的坐标，求函数f(x)=

a

•

b

在闭区间[0，

π

2

]上的值域．着重考查了向量数量积公式、三角恒等变换公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．