Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的离心率为

6

3

，短轴一个端点到右焦点的距离为

3

．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，且△AOB的面积为

3

2

，求：实数k的值．

Answer 1

分析：（1）因为椭圆离心率为e=

c

a

=

6

3

，又因为短轴一个端点到右焦点的距离为a=

3

，故c=

2

，从而b²=a²-c²=1，椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）先由原点O到直线l的距离为

3

2

，得等式m2=

3

4

(k2+1)，再将直线l与椭圆联立，利用韦达定理和△AOB的面积为

3

2

，得等式

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

•

3

16

=

3

4

，最后将两等式联立解方程即可得k值

解答：解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意

c a = 6 3 a= 3

，
∴b=1，∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)．
又由

y=kx+m x2 3 +y2=1

，消去y得：
（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]
=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

又S2△AOB=(

1

2

×|AB|×

3

2

)2=

3

16

×

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=

3

4

，
化简得：9k⁴-6k²+1=0
解得：k=±

3

3

点评：本题考察了椭圆的标准方程，直线与椭圆相交的性质，解题时要特别注意韦达定理在解题中的重要应用，巧妙地运用设而不求的解题思想提高解题效率．