Question

函数f（x）=cosx(asinx-cosx)+cos2(x-

π

2

)，满足f（-

π

3

）=f（0），
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在

π

4

≤x≤

11π

24

上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

a

2

sin2x-cos2x，再由 f（-

π

3

）=f（0），解方程求得函数f（x）的最小正周期．
（2）根据

π

4

≤x≤

11π

24

求出

π

3

≤2x  -

π

6

≤

3π

4

，由此求得sin（2x  -

π

6

）的取值范围，从而得到函数f（x）在

π

4

≤x≤

11π

24

上的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=asinxcosx-cos²x+sin²x=

a

2

sin2x-cos2x，f（-

π

3

）=f（0），
∴

a 2 sin(- 2π 3 )-cos(- 2π 3 )=-1

，∴a=2

3

．
∴f（x）=

3 sin2x-cos2x=2sin(2x- π 6 )

，故最小正周期等于

2π

2

=π．
（2）∵

π

4

≤x≤

11π

24

，∴

π

2

≤2x≤

11π

12

，

π

3

≤2x  - 

π

6

≤

3π

4

，
∴

2

2

≤sin（2x  -

π

6

）≤1，∴

2

≤sin（2x  -

π

6

）≤2，
∴f_max（x）=2，f_min（x）=

2

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域、周期性，属于基础题．