题目内容

已知实数x，y满足x²+y²+2x-2 $数学公式$ y=0．
（Ⅰ）求x- $数学公式$ y的取值范围；
（II）当实数a为何值时，不等式x²+y²-a≤0恒成立？

解：（Ⅰ）配方，得圆的标准方程（x+1）²+（y- $\text{[math]}$ ）²=4 （1）
再令x- $\text{[math]}$ y=t （2）
则直线（2）与圆（1）有公共点（x，y），所以圆心C（-1， $\text{[math]}$ ）到直线的距离为d= $\text{[math]}$
∴-8≤t≤0，即x- $\text{[math]}$ y的取值范围是[-8，0]．
（II）不等式x²+y²-a≤0恒成立，等价于a≥x²+y²恒成立，
由（Ⅰ）得x²+y²=-2（x- $\text{[math]}$ y）=-2t≤16，所以a≥16．
分析：（Ⅰ）配方得圆的标准方程，令x- $\text{[math]}$ y=t，则问题转化为直线与圆有公共点，由此可求x- $\text{[math]}$ y的取值范围；
（II）不等式x²+y²-a≤0恒成立，分离参数，可得a≥x²+y²恒成立，求出右边的最大值，即可求得结论．
点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查恒成立问题，分离参数，求最值是关键．