Question

15．某数学老师身高179cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是176cm、173cm和185cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测孙子的身高，已知父亲与儿子身高如表一：

父亲身高x（cm）	176	173	179
儿子身高y（cm）	173	179	185

该数学老师提供了三种求回归直线$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$的方案（每种方案都正确）.$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{\;}^{\;}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{\;}^{\;}{x}_{i}^{2}-{n\overline{x}}^{2}}$（公式1），$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{\;}^{\;}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{\;}^{\;}（x{{\;}_{i}-\overline{x}}^{2}）}$（公式2）；$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$（公式3）
（方案一）：借助（公式1）求$\stackrel{∧}{b}$，借助（公式3），求$\stackrel{∧}{a}$，进而求回归直线方程；
（方案二）：借助（公式2）求$\stackrel{∧}{b}$，借助（公式3）求$\stackrel{∧}{a}$，进而求回归直线方程；
（方案三）：令X=x-173，Y=y-179，则（表一）转化成诶面的（表二）．

X	3	0	6
Y	-6	0	6

借助（表二）和（公式1）、（公式3），求出$\stackrel{∧}{Y}$=$\stackrel{∧}{b}$X+$\stackrel{∧}{a}$，进而求出y对x的回归直线（y-179）=$\stackrel{∧}{b}$（x-173）+$\stackrel{∧}{a}$．
结合数据特点任选一种方案，求y与x的回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，并根据回归直线预测数学教师的孙子的身高．

Answer 1

分析 使用方案一，求出$\stackrel{∧}{b}$，$\stackrel{∧}{a}$，代入回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，并将x=185代入回归方程得到孙子的身高预测值．

解答 解：方案一：
$\overline{x}$=$\frac{176+173+179}{3}$=176，$\overline{y}$=$\frac{173+179+185}{3}$=179．
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{173×173+173×179+179×185-3×176×179}{17{6}^{2}+17{3}^{2}+17{9}^{2}-3×17{6}^{2}}$=$\frac{18}{18}$=1，
$\stackrel{∧}{a}$=179-1×176=3，
∴回归方程是：y=x+3，
当x=185时，y=185+3=188．
∴数学教师的孙子的身高预测值为188cm．

点评 本题考查了线性回归方程，是基础题．