Question

已知函数f(x)=x²-alnx（a∈R），
（Ⅰ）若a=2，求证：f(x)在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f(x)在[1，e]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：当a=2时，，
当x∈（1，+∞）时，，
所以f(x)在（1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）解：，
当x∈[1，e]，，
若a≤2，则当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，
所以f(x)在[1，e]上是增函数，
又f(1)=1，故函数f(x)在[1，e]上的最小值为1；
若，则当x∈[1，e]时，f′(x)≤0，
所以f(x)在[1，e]上是减函数，
又f(e)=，所以f(x)在[1，e]上的最小值为；
若，则当时，f′(x)＜0，此时f(x)是减函数；
当时，f′(x)＞0，此时f(x)是增函数；
又，所以f(x)在[1，e]上的最小值为；
综上可知，当a≤2时，f(x)在[1，e]上的最小值为1；
当时，f(x)在[1，e]上的最小值为；
当时，f(x)在[1，e]上的最小值为．