Question

10．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点A（3，m）（m＞0），若A到焦点F的距离为4，则以A为圆心与抛物线C的准线相切的圆的标准方程为（x-3）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=16．

Answer 1

分析 根据题意可得3-（-$\frac{P}{2}$）=4，求得p=2，可得抛物线 C：y²=4x．把点A（3，m）代入抛物线的方程，求得m的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．

解答 解：由题意结合抛物线的定义可得A到准线的距离为4，
∴3-（-$\frac{P}{2}$）=4，求得p=2，∴抛物线 C：y²=4x．
点A（3，m）代入抛物线 C：y²=4x，
结合m＞0，可得m=2$\sqrt{3}$．
再根据题意可得圆的半径为4，
故所求的圆的标准方程为（x-3）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=16，
故答案为：（x-3）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=16．

点评 本题主要考查抛物线的定义和标准方程的应用，求圆的标准方程的方法，求出m的值，是解题的关键，属于中档题．