Question

已知直线l的参数方程为

x=2+tcosα y=tsinα

，（t为参数，α为倾斜角，且α≠

π

2

）与曲线

x2

16

+

y2

12

=1交于A，B两点．
（Ⅰ）写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标；
（Ⅱ）求|PA||PB|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先可以分析到题目中的直线方程是参数方程的形式，需要化简为一般方程，第1问即可求得．
（Ⅱ）直线与曲线交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系即可得到求解．

解答：证明：（Ⅰ）∵直线的参数方程为

x=2+tcosα y=tsinα

，（t为参数，α为倾斜角，且α≠

π

2

），
所以

y

x-2

=

tsinα

tcosα

=tanα，∴直线l的一般方程xtanα-y-2tanα=0，
直线l通过的定点P的坐标为（2，0）．
（Ⅱ）∵l的参数方程为

x=2tcosα y=tsinα

，而椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1，右焦点坐标为P（2，0）
∴3（2+tcosα）²+4（tsinα）²-48=0，即（3+sin²α）t²+12cosαt-36=0
∵直线l过椭圆的右焦点，∴直线与椭圆有两个交点．
∴|PA||PB|=

36

3+sin2α

，又α为倾斜角，且α≠

π

2

∴0≤sin²α＜1，∴|PA||PB|的最大值为12．
故答案为12．

点评：此题主要考查直线参数方程化一般方程，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．