题目内容

如图，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2， $数学公式$ ．
（1）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）记AC=x，V（x）表示三棱锥A-CBE的体积，求V（x）的表达式．

解：（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形∴CD∥BE，BC∥DE
∵DC $\text{[math]}$ 平面ABC， $\text{[math]}$ 平面ABC∴DC⊥BC．
∵AB是圆O的直径∴BC⊥AC且DC∩AC=C∴BC $\text{[math]}$ 平面ADC．
∵DE∥BC∴DE $\text{[math]}$ 平面ADC
又∵ $\text{[math]}$ 平面ADE
∴平面ACD $\text{[math]}$ 平面ADE
（2）∵DC $\text{[math]}$ 平面ABC，CD∥BE∴ $\text{[math]}$ 平面ABC
∵ $\text{[math]}$ 平面ABC∴BE $\text{[math]}$ AB，
在Rt△ABE中，由 $\text{[math]}$ ，AB=2得 $\text{[math]}$
在Rt△ABC中∵ $\text{[math]}$ （0＜x＜2）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （0＜x＜2）
分析：（1）欲证平面ACD $\text{[math]}$ 平面ADE，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACD垂直，而根据题意可得DE $\text{[math]}$ 平面ADC；
（2）要求三棱锥A-CBE的体积，可转化成求出三棱锥E-ABC的体积，而该三棱锥的高为BE易于求解，然后根据三棱锥的体积公式进行求解即可．
点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及棱锥的体积和转化的数学思想，属于基础题．