Question

4．在△ABC中，AB=AC=2，BC=$2\sqrt{3}$，D在BC边上，∠ADC=75°，求AD的长为$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通过AB=AC=2、BC=$2\sqrt{3}$可知cos∠ACB=30°，利用正弦定理得出关系式$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{AD}{sin∠ACB}$，进而计算可得结论．

解答 解：∵AB=AC=2，BC=$2\sqrt{3}$，
∴cos∠ACB=30°，
由正弦定理可知：$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\frac{AD}{sin∠ACB}$，
∴AD=AC•$\frac{sin∠ACB}{sin∠ADC}$
=2•$\frac{sin30°}{sin75°}$
=$\frac{1}{sin（30°+45°）}$
=$\frac{1}{sin30°cos45°+cos30°sin45°}$
=$\frac{1}{\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}}$
=$\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

点评 本题考查应用正弦定理解三角形，注意解题方法的积累，属于中档题．