Question

记数列{a_n}的前n项和S_n，且Sn=

c

2

n2+(1-

c

2

)n（c为常数，n∈N^*），且a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比数列．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并求c的值；
（2）设bn=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）当n=1，易求a₁=S₁=1，当n≥2，可求得a_n=S_n-S_n-1=1+（n-1）c，检验后知，a_n=1+（n-1）c，再由a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比数列即可求得c；
（2）由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，利用裂项法可求得b_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），从而可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解（1）由S_n=

c

2

n²+（1-

c

2

）n得：S_n-1=

c

2

（n-1）²+（1-

c

2

）（n-1）（n≥2），
∴当n=1，a₁=S₁=1；
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=1+（n-1）c，
当n=1时，a₁=1满足上式，
∴a_n=1+（n-1）c，
而a₁，a₂，a₅成公比不等于1的等比数列，
即（1+c）²=1+4c且c≠0，
解得c=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=2n-1．
∴b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定与错位相减法求和的应用，求得c=2是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．