Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N）．
（1）试判断数列{

1

an

+(-1)n}是否为等比数列，并说明理由；
（2）设b_n=

1

an2

，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：对任意的n∈N^*，T_n＜

4

7

．

Answer 1

分析：（1）根据题意，对

1

an

=(-1)n-

2

an-1

进行变形可得

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，从而证得结论；
（2）根据（1）求出数列a_n，从而求得b_n，利用分组求和法即可求得结果；
（3）首先确定出数列{c_n}的通项公式，利用放缩的思想将数列的每一项进行放缩，转化为特殊数列的求和问题达到证明不等式的目的．

解答：解：（1）∵

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，
∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，
又∵

1

a1

+(-1)=3，
∴数列{

1

an

+(-1)n}是首项为3，公比为-2的等比数列．
（2）依（1）的结论有

1

an

+(-1)n=3(-2)n-1，
即an=

(-1)n-1

3•2n-1+1

．
b_n=（3•2^n-1+1）²=9•4^n-1+6•2^n-1+1．
Sn=9•

1•(1-4n)

1-4

+6•

1•(1-2n)

1-2

+n=3•4n+6•2n+n-9．
（3）∵sin

(2n-1)π

2

=(-1)n-1，
∴cn=

(-1)n-1

3(-2)n-1-(-1)n

=

1

3•2n-1+1

．
当n≥3时，
则Tn=

1

3+1

+

1

3•2+1

+

1

3•22+1

+…+

1

3•2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3•22

+

1

3•23

+…+

1

3•2n-1

=

11

28

+

1 12 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

=

47

84

＜

48

84

=

4

7

．
∵T₁＜T₂＜T₃，
∴对任意的n∈N^*，Tn＜

4

7

．

点评：本题考查数列的递推公式确定数列的思想，根据递推公式确定出数列是否满足特殊数列的定义，考查学生的转化与化归思想．第（3）问考查学生的不等式放缩的技巧与方法，关键要将数列{c_n}的每一项进行放缩转化为特殊数列从而达到求和证明的目的，属难题．