Question

已知函数f(x)=2sin2(

π

2

-x)+2

3

sin（π-x）cosx，
（1）求函数f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域；
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的降幂公式与倍角公式，辅助角公式将函数f(x)=2sin2(

π

2

-x)+2

3

sin（π-x）cosx转化为：
y=2sin（2x+

π

6

），由x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，由正弦函数的图象与性质可求得函数f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域；
（2）由f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=2，0＜C＜π⇒C=

π

3

；2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）⇒sinB=sinAsinC
?sin（A+C）=sinAsinC，展开整理即可求得tanA．

解答：解：化简函数为：f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
（1）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

， 1]，2sin（2x）+1∈[0，3]，即f（x）∈[0，3]；
∴函数f（x）的值域为[0，3]．
（2）由条件知f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=2，
即：sin(2C+

π

6

)=

1

2

，0＜C＜π，所以C=

π

3

，
又∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），
∴2sinB=cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC），
∴sinB=sinAsinC，由C=

π

3

，A+B+C=π可得：
sin（A+C）=

3

2

sinA，即sinAcosC+cosAsinC=

3

2

sinA，
所以：

1

2

tanA+

3

2

=

3

2

tanA，
解得：tanA=

3 +3

2

．

点评：本题考查复合三角函数的单调性，（1）中难点在于由x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，再利用正弦函数的图象与性质予以解决，（2）着重考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．