Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n+1（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求它的首项和公差；
（2）证明：数列{a_n}不可能是等比数列；
（3）若a₁=-1，c_n=a_n+kn+b（n∈N^*），试求实数k和b的值，使得数列{c_n}为等比数列；并求此时数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由数列递推式把a₂，a₃用a₁表示，然后利用等差中项的概念列式求解首项和公差；
（2）利用反证法，假设数列{a_n}是等比数列，由

a

2 2

=a1a3列式求解数列的首项，进一步求出前四项，得到的数列不是等比数列，由此得到矛盾；
（3）直接利用等比数列的概念列式求解等比数列{c_n}的公比，并求出实数k和b的值，得到数列{c_n}的通项公式后求得数列{a_n}的通项公式．

解答：（1）解：由已知a₂=2a₁+2，a₃=2a₂+3=4a₁+7，
若{a_n}是等差数列，则2a₂=a₁+a₃，即4a₁+4=5a₁+7，
得a₁=-3，a₂=-4，故d=-1．   
∴数列{a_n}的首项为-3，公差为-1；  
（2）证明：假设数列{a_n}是等比数列，则有

a

2 2

=a1a3，
即4(a1+1)2=a1(4a1+7)，
解得a₁=-4，从而a₂=-6，a₃=-9，
又a₄=2a₃+4=-14．  
数列a₁，a₂，a₃，a₄不成等比数列，与假设矛盾，
∴数列{a_n}不是等比数列；
（3）由题意，对任意n∈N^*，有

cn+1

cn

=q（q为定值且q≠0），
即

an+1+k(n+1)+b

an+kn+b

=q． 
即

2an+n+1+k(n+1)+b

an+kn+b

=

2an+(k+1)n+k+b+1

an+kn+b

=q，
于是，2a_n+（k+1）n+k+b+1=qa_n+kqn+qb，
∴

q=2   k+1=kq   k+b+1=qb

⇒

q=2   k=1   b=2  .

∴当k=1，b=2时，数列{c_n}为等比数列． 
此数列的首项为a₁+1+2=2，公比为q=2，∴an+n+2=2n．
因此，{a_n}的通项公式为an=2n-n-2．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用反证法证题，属有一定难度的题目．