Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为Sn=(

1

3

)n-c，正数数列{b_n}的首项为c，且满足：bn+1=

bn

1+2bn

(n∈N*)．记数列{b_nb_n+1}前n项和为T_n．
（Ⅰ）求c的值； 
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据Sn求出a₁，a₂，a₃，根据{a_n}为等比数列，确定出c的值．
（Ⅱ）根据bn+1=

bn

1+2bn

(n∈N*)，得到bn与bn+1的递推关系，根据特殊的数列求通项．
（Ⅲ）先求出Tn，假设满足T₁，T_m，T_n成等比数列，得到n与m的关系式，再根据1＜m＜n，求出m，n的范围，根据m，n是正整数，求出m，n的值．

解答：解：（Ⅰ）a1=

1

3

-c，a2=(

1

3

)2-

1

3

=-

2

9

，a3=(

1

3

)3-(

1

3

)2=-

2

27

（3分）
因为{a_n}为等比数列所以a₂²=a₁a₃，得c=1（4分）
经检验此时{a_n}为等比数列．（5分）
（Ⅱ）∵bn+1=

bn

1+2bn

(n∈N*)
∴

1

bn+1

=

1

bn

+2(n∈N*)
数列{

1

bn

}为等差数列   （7分）
又S₁=b₁=c=1，所以

1

bn+1

=

1

b1

+(n-1)×2=2n-1(n∈N*)
所以bn=

1

2n-1

（n∈N^*）（10分）
（Ⅲ）Tn=

1

2

(

1

b1

-

1

b2

+

1

b2

-

1

b3

+…+

1

bn

-

1

bn+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

（12分）
假设存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列
则

1

3

×

n

2n+1

=(

m

2m+1

)2，所以n=

3m2

-2m2+4m+1

由n＞m＞1得

3m2

-2m2+4m+1

＞m且-2m²+4m+1＞0
即

2m2-m-1＞0 2m2-4m-1＜0

，所以

m＞1或m＜- 1 2 1- 6 2 ＜m＜1+ 6 2

因为m为正整数，所以m=2，此时n=12
所以满足题意的正整数存在，m=2，n=12．（15分）

点评：熟练掌握并灵活运用等差等比数列的通项公式以及求和公式是解决此题的关键．