题目内容

函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，导函数f′（x）满足f′（0）f′（1）＞0，设f'（x）=0的两根为x₁，x₂，则|x₁-x₂|的取值范围是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：先求出f′（x）=3ax²+2bx+c，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，由f′0）•f′（1）＞0，
解得-2＜ $\text{[math]}$ ＜-1，利用二次函数的性质求出 $\text{[math]}$ 的范围，即可求得|x₁-x₂|的取值范围．
解答：由题意得：f′（x）=3ax²+2bx+c，∵x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个根，
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ．∴|x₁-x₂|²= $\text{[math]}$ -4x₁x₂，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -4x₁•x₂= $\text{[math]}$ ．
∵a+b+c=0，∴c=-a-b，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
∵f′0）•f′（1）＞0，f（0）=c=-（a+b），且f′（1）=3a+2b+c=2a+b，∴（a+b）（2a+b）＜0，
即2a²+3ab+b²＜0，∵a≠0，两边同除以a²得： $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ +2＜0，解得-2＜ $\text{[math]}$ ＜-1．
由二次函数的性质可得，当 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最小值为 $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 趋于-1时， $\text{[math]}$ 趋于 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ，
故|x₁-x₂|∈ $\text{[math]}$ ，
故选A．
点评：本题考查根与系数的关系的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．