题目内容

在数列{a_n}中， $数学公式$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令 $数学公式$ ，求数列{b_n}的前n项和s_n；
（3）令 $数学公式$ ，数列{c_n}的前n项和T_n，求证： $数学公式$ ．

解：（1）∵ $\text{[math]}$
∴a_n+1+2•2ⁿ⁺¹=3（a_n+2×2ⁿ），
∵a₁+2•2¹=9
∴{a_n+2ⁿ⁺¹}是等比数列，公比为3，
∴a_n+2ⁿ⁺¹=3ⁿ⁺¹，
∴a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹．
（2）∵a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（2n+1） $\text{[math]}$ ，
∴S_n= $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ -（2n+1） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
∴S_n= $\text{[math]}$ ．
（3）∵a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
＞ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，知a_n+1+2•2ⁿ⁺¹=3（a_n+2×2ⁿ），由此利用构造法能求出a_n．
（2）由a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（2n+1） $\text{[math]}$ ，故S_n= $\text{[math]}$ ，由此利用错位相减法能够求出数列{b_n}的前n项和S_n．
（3）由a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，由此利用放缩法能够证明 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查利用构造法求数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前n项和，利用放缩法证明不等式．解题时要认真审题，仔细解答，注意转化化归思想的合理运用．