Question

如图，在多面体ABCD-EF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．
（1）求证：EH⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-FC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）证明线面垂直，只需证明EH垂直于平面ABCD内的一条直线，利用证明AB⊥平面AED，即可证得；
（2）根据AC，BD，OF两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面BCF的法向量、平面AFC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-FC-B的大小．

解答：（1）证明：因为AE=ED，H是AD的中点，所以EH⊥AD
又因为AB∥EF，EF⊥EA，所以AB⊥EA
又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面AED，
因为EH?平面AED，所以AB⊥EH，
所以EH⊥平面ABCD；
（2）解：AC，BD，OF两两垂直，建立如图所示的坐标系，设EF=1，则AB=2，B（0，

2

，0），C（-

2

，0，0），F（0，0，1）
设平面BCF的法向量为

n1

=（x，y，z），

BC

=（-

2

，-

2

，0），

CF

=（

2

，0，1）
∴

n1 • BC =0 n1 • CF =0

，∴

- 2 x- 2 y=0 2 x+z=0

，∴可取

n1

=(-1，1，

2

）
平面AFC的法向量为

n2

=（0，1，0）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

2

．               
∵二面角A-FC-B为锐角，∴二面角A-FC-B等于

π

3

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是熟练运用线面垂直的判定，掌握求平面法向量的方法．